卡特兰数
Catalan number卡特兰数是一种用于计算特定组合问题的数学算法。它通常用于计算有关括号匹配、二又树的种类数量、凸多边形的三角划分等问题。 卡特兰数：规定C0＝1，而C1＝1，C2＝2，C3＝5，C4＝14，C5＝42，C6＝132，C7＝429，C8＝1430，C9＝4862，C10＝16796，C11＝58786，C12＝208012，C13＝742900，C14＝2674440，C15＝9694845 公式为Cn=C(2n, n)/(n+1)=C(2n, n)-C(2n, n-1)
洛谷原题案例
P1044 [NOIP2003 普及组] 栈
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
/*
catalan数列计数公式C(n)=求和公式大E(i=0,n-1)C(i)*C(n-1-i)
*/
int dp[19];
int main()
{
int n;
cin >> n;
// catalan前两项都是1，数论做法
dp[0]=dp[1] = 1;
for(int i = 2;i<=n;i++)
{
for(int k = 0;k<=i-1;k++)
{
dp[i] += dp[k] * dp[i-1-k];
}
}
cout << dp[n];
return 0;
}
P1754 球迷购票问题
//解法1
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
long long c(int n){
if(n==0||n==1) return 1;
return (4*n-2)*c(n-1)/(n+1);//卡特兰公式
}
int n;
int main(){
cin>>n;
cout<<c(n);
return 0;
}
//解法2
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
long long n,m,dp[100][100];
int main()
{
cin>>n;
for(int i=1;i<=n;i++)
{
dp[i][0]=1;
}
for(int i=1;i<=n;i++)
{
for(int j=1;j<=i;j++)
{
//卡特兰通项式
dp[i][j]=dp[i-1][j]+dp[i][j-1];
}
}
cout<<dp[n][n];
return 0;
}
//解法3
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
//函数功能: 计算Catalan的第n项
//函数参数: n为项数
//返回值: 第n个Catalan数
ll Catalan(int n)
{
if(n<=1) return 1;
ll *h = new ll [n+1]; //保存临时结果
h[0] = h[1] = 1; //h(0)和h(1)
for(int i=2;i<=n;++i) //依次计算h(2),h(3)...h(n)
{
h[i] = 0;
for(int j = 0; j < i; j++) //根据递归式计算 h(i)= h(0)*h(i-1)+h(1)*h(i-2) + ... + h(i-1)h(0)
h[i] += (h[j] * h[i-1-j]);
}
ll result = h[n]; //保存结果
delete [] h; //注意释放空间
return result;
}
ll n;
int main()
{
cin>>n;
cout<<Catalan(n);
return 0;
}
P1722 矩阵 II
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
int n;
ll f[101];
int main()
{
f[0]=f[1]=1;
cin>>n;
for(int i=2;i<=n;++i)
{
for(int j=1;j<=i;++j)
{
f[i]+=f[j-1]*f[i-j];
f[i]%=100;
}
}
cout<<f[n]%100;
return 0;
}
//公式2
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int h[110];
int main()
{
int n,i,j;
h[0]=1;
scanf("%d",&n);
for(i=1;i<=n;++i)
for(j=0;j<i;++j)
h[i]=(h[i]+h[j]*h[i-1-j])%100;
printf("%d\n",h[n]);
return 0;
}