排序算法 — 归并排序（分治法）

　归并排序（MERGE-SORT）是利用归并的思想实现的排序方法，该算法采用经典的分治（divide-and-conquer）策略（分治法将问题分(divide)成一些小的问题然后递归求解，而治(conquer)的阶段则将分的阶段得到的各答案"修补"在一起，即分而治之)。

图示

　归并排序采用分治的思想来将一个大问题分解为多个小问题，并通过合并已排序的子问题来解决原始问题。

归并排序的时间复杂度是O(nlogn)，其中n是待排序数组的大小。它是一种稳定的排序算法，适用于各种不同类型的数据。
归并排序的优点是它具有良好的稳定性和可预测性，而且在处理大型数据集时也表现良好。然而，它需要额外的空间来存储临时数组，因此在空间有限的情况下可能不是最佳选择。

基本算法

1、分离

将已有数列不断分离成两段长度基本相同（当已有数列长度是奇数时，则一半长一半短），直到分离成长度为 1 的 n 个数列（其实就是 n 个数）。

2、合并

将两个已排序的子数组合并为一个新的已排序数组。合并操作通过比较两个子数组的元素，并按照顺序将它们逐个放入新数组中。

3、递归

对每个子数组重复上述两个步骤，直到所有子数组都被合并为一个完整的已排序数组。

4、图片讲解

将一个无序数列排好序：

先是分离成长度为 1 的 n 个数列，然后再合并，合并过程中两个红色区域代表两两比较，然后将小的放在前面。

C++程序实现

#include <bits/stdc++.h> 
using namespace std;
int n,a[12000],b[12000];
//合并函数
void merge(int low,int mid,int high) //归并
//low 和 mid 分别是要合并的第一个数列的开头和结尾，mid+1 和 high 分别是第二个数列的开头和结尾
{
	int i=low,j=mid+1,k=low;
    //i、j 分别标记第一和第二个数列的当前位置，k 是标记当前要放到整体的哪一个位置
	while (i<=mid && j<=high)    //如果两个数列的数都没放完，循环
	{
		if (a[i]<a[j])
			b[k++]=a[i++];
		else
			b[k++]=a[j++];   //将a[i] 和 a[j] 中小的那个放入 b[k]，然后将相应的标记变量增加
	}        // b[k++]=a[i++] 和 b[k++]=a[j++] 是先赋值，再增加
	while (i<=mid)
		b[k++]=a[i++];
	while (j<=high)
		b[k++]=a[j++];    //当有一个数列放完了，就将另一个数列剩下的数按顺序放好
	for (int i=low;i<=high;i++)
		a[i]=b[i];                //将 b 数组里的东西放入 a 数组，因为 b 数组还可能要继续使用
}
//分离函数
void mergesort(int x,int y)			//分离，x 和 y 分别代表要分离数列的开头和结尾
{
	if (x>=y) return;        //如果开头 ≥ 结尾，那么说明数列分完了，就要返回
	int mid=(x+y)/2;            //将中间数求出来，用中间数把数列分成两段
	mergesort(x,mid);
	mergesort(mid+1,y);        //递归，继续分离
	merge(x,mid,y);        //分离完之后就合并
}
int main()
{
	cin >>n;
	for (int i=1;i<=n;i++)
		cin >>a[i];
	mergesort(1,n);  //调用函数
	for (int i=1;i<=n;i++)
		cout <<a[i] <<" ";
	return 0;
}

总结

归并排序是一种重要的排序算法，对于理解和学习其他高级排序算法也非常有帮助。 今天我们学习了排序中又快又稳定的算法：归并排序，时间复杂度为 O（n log n） 。